Efter at have læst kunsthistorie på Københavns og Århus Universitet blev Nanna Bruun i 1969 ansat hos Bruun Rasmussen Kunstauktioner, hvor hun efter nogle år blev ansvarlig for auktionerne over moderne kunst. Hun blev i 1986 den første kvindelige auktionarius i Danmark.

I 1991 etablerede Nanna Permin Bruun sammen med Dorthe Taarup vurderingskonsulentfirmet Art Consult, men overlod efter få år konsulentarbejdet til sin partner og fulgte med sin mand, der var blevet udsendt som ambassadør, først til Oslo, derefter til Genève, og til sidst til Paris. På alle disse poster søgte hun at engagere sig aktivt i den kulturelle formidling mellem Danmark og opholdslandet.

Straks efter at hun var vendt tilbage til Danmark i 2003, blev fødselaren direktør for den kulturelle del af den nystiftede fond Oak Foundation Denmark, der hurtigt fik en fremtrædende placering blandt de kulturelle fonde i Danmark. På grund af ændrede prioriteringer i moderfonden ophører Oak Foundation Denmarks kulturelle virksomhed med udgangen af 2012, men Nanna Bruun vil fortsat være aktiv på det kulturelle felt, bl.a. som medlem af Advisory Board for Ordrupgaardsamlingen og Den Frie Udstillingsbygnings Styregruppe.

Nanna Bruun har været medlem af bestyrelsen for Galleri Nørby 2004-2007 og for bestyrelsen for Skagens Museum 2004-2011. I 1995 modtog hun Det Treschowske Familielegat.