0
Læs nu

Du har ingen artikler på din læseliste

Hvis du ser en artikel, du gerne vil læse lidt senere, kan du klikke på dette ikon
Så bliver artiklen føjet til din læseliste, som du altid kan finde her, så du kan læse videre hvor du vil og når du vil.

Næste:
Næste:
Artiklen er føjet til din læseliste Du har ulæste artikler på din læseliste

Matematikken kommer fra kroppen

Der er ikke oplæsning af denne artikel, så den oplæses derfor med maskinstemme. Kontakt os gerne på automatiskoplaesning@pol.dk, hvis du hører ord, hvis udtale kan forbedres. Du kan også hjælpe ved at udfylde spørgeskemaet herunder, hvor vi spørger, hvordan du har oplevet den automatiske oplæsning.

Spørgeskema om automatisk oplæsning
ingen
Foto: ingen
Faglitteratur
Læs artiklen senere Gemt (klik for at fjerne) Læst
FOR ABONNENTER
Faglitteratur
Læs artiklen senere Gemt (klik for at fjerne) Læst
FOR ABONNENTER

De fleste mennesker har sikkert funderet over, hvor f.eks. de negative tal kommer fra. Det er ikke nogen, man sådan lige falder over. Man kan spise fem æbler, men man kan ikke spise minus fem æbler. Og hvorfor giver to negative tal ganget med hinanden egentlig et positivt tal?

Hvem har fundet på det dér med minus? Eller er det netop noget, ingen har fundet på, fordi de negative tal eksisterer uden for mennesket, i en platonisk verden af evige ideer, hvor de så bare skal opdages af mennesker?

Dette problem, som er velkendt - og uløst - i matematikken, tackles i en usædvanlig original og spændende bog af den amerikanske lingvist George Lakoff og psykologen Rafael E. Núñez: 'Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being'.

Lakoff er bl.a. medforfatter til bogen 'Philosophy in the Flesh' (anmeldt 17.2.01.), og hvad han gjorde for filosofien, gør han og Núñez her for matematikken: Hævder at alle disciplinens grundlæggende ideer er opstået gennem metaforer dannet på basis af vores oplevelser som børn med vores krop og vores nærmeste omverden.


De negative tal og de langt mere abstrakte begreber i matematikken er hverken tilfældige påhit eller evige sandheder, der ligger og venter på at blive hentet ned af matematiske genier. De enkleste af dem opstår i hvert eneste barns liv - de hele tal, det at tælle, addition - og gennem årtusinderne har købmænd og matematikere udviklet disse barndomserfaringer gennem en stadig udvidelse og sofistikering af de involverede begrebsmæssige metaforer.

Evnen til at behandle ganske små tal er medfødt, fastslår forfatterne. Eksperimenter har vist, at spædbørn på to uger kan skelne mellem 2 og 3 og kan lægge 1 og 1 sammen. Men alt med antal over 4 skal læres. Grundlaget for denne læring er barnets erfaringer med at håndtere genstande og bevæge sig gennem sin omverden.

Regnearten addition kommer fra vores oplevelser med at samle genstande i bunker. Lægger man tre småsten oven i en bunke med fem, får man otte. Sproget bekræfter denne oprindelse, bemærker forfatterne - og selv på dansk gælder det: 3 og 5 'lægges sammen' og man får 8. Men det er jo ikke selve tallene '3' og '5' man lægger ved siden af hinanden; det er i overført dvs. netop metaforisk forstand bunker med hhv. 3 og 5 genstande, der lægges oven i hinanden.

Division og brøkregning er tilsvarende dannet ud fra oplevelser med at skille genstande ad og sætte dem sammen igen. Ligesom en hel appelsin kan brækkes op i flere dele , kan et 'helt' tal 'deles' i 'brøker'. Også bunker kan naturligvis deles, men en bunke sten er ikke hel på samme måde som en appelsin.


At samle genstande i bunker og at konstruere en genstand er Lakoff og Núñezs første to såkaldt 'grundlæggende metaforer' for aritmetikken. Den tredje er målestoksmetaforen: Man måler en afstand ved at lægge en målestok eller et linjestykke ned gentagne gange, f.eks. en tommelfinger eller en fod.

Det minder om genstandskonstruktion, fordi linjestykkerne tilsammen danner hele afstanden, men er noget andet, fordi det foregår langs en linje.

Netop linjen er vigtig i den fjerde og sidste grundlæggende metafor, der tager udgangspunkt i vores oplevelse af at gå et stykke vej. Her starter man ved den ene ende af et linjestykke og bevæger sig hen til den anden ende. Hvert skridt måles ved et tal: 1, 2, 3, og starten kaldes naturligt 0.

At gå den anden vej langs linjen er modsat, negativt, og skridtene dér kaldes da -1, -2, -3. At gå to skridt mere i den oprindelige retning er at lægge to til, og at gå tre skridt i den modsatte retning er at trække tre fra. At multiplicere 4 med 3 er at gå 4 skridt i alt 3 gange, og at multiplicere 4 med -3 er at gøre det samme, men i modsat retning. At gange -4 med -3 er at gå i modsat-modsat retning, dvs. 12 skridt i den oprindelige (positive) retning.

I denne simple hverdagserfaring med at gå i én retning, og så den modsatte, og så den oprindelige vej igen, ligger årsagen til, at produktet af to negative tal er positivt. Det skyldes ikke en uudgrundelig, platonisk ide; ej heller er det en vilkårlig konvention. Det er simpelthen således vores kropslige, fysiske og biologiske verden hænger sammen. Vi kan gå, vores krop har en forside - hvilket betyder, at der er en naturlig retning at gå i - og vi kan vende om.


Vores krop, sanser, hjerne og tænkning er indrettet på en bestemt måde, og vi navigerer i vores omverden på en måde, der er i overensstemmelse hermed.

Vores øjne fokuserer blikket på en ting, der afgrænses yderligere med hændernes brug, vi kan flytte ting med hænderne, lægge dem sammen med andre af samme slags, vi kan flytte os selv ved at gå osv. Det kognitive apparat, der er involveret i alle disse motoriske færdigheder, bruger sine erfaringer herfra i matematikken.

Vi har ikke én hjerne for sensomotorisk adfærd og en anden hjerne for matematik. Moderne kognitionsforskning har til overflod demonstreret, at det er de samme neurale systemer, der er aktive i både hverdagsadfærd og i matematik. Den abstrakte tænkning trækker på kroppens og sansernes evolutionært meget ældre erfaringer.

Lakoff og Núñez forsøger at vise, at matematikken bygger på de fire grundlæggende metaforer: Samle småsten, dele en appelsin, måle med en tommelfinger, skridte en vej af (samt nogle mindre væsentlige, f.eks. Mængder er beholdere, der rummer ting). Med disse metaforer kan man udlede aritmetikken (læren om tallene), som derpå danner udgangspunkt for nye metaforer, hvormed mere abstrakte grene af matematikken kan konstrueres.

Forfatterne gennemgår f.eks. den engelske matematiker George Booles forsøg på i midten af 1800-tallet at forene mængdelære og logik og på aristotelisk grund at formulere lovene for tænkning overhovedet.

Udsagnet 'Sokrates er dødelig' forstod Aristoteles som 'Sokrates tilhører mængden af dødelige'. Boole prøvede at konstruere en måde at 'regne' med sådanne mængder på (dvs. en algebra), og hans resultater, boolsk algebra, bruges den dag i dag i computere.

Lakoff og Núñez rekonstruerer Booles ræsonnement og viser punkt for punkt, at han forsøgte at bruge aritmetikkens love som metaforisk udgangspunkt for sin mængdelære. Hermed opnår de at kaste fint lys over mange tilsyneladende vilkårligheder, som utallige studerende af boolsk logik har måttet sluge uforklarede: Boole opfandt dem, fordi han ville have sin algebra til at ligne aritmetikken.


I bogens anden halvdel udvikler forfatterne en grundlæggende metafor for uendelighed samt behandler punkter, rum, kontinuum og en række langt mere abstrakte begreber.

Forsøget er her ikke som med Boole at rekonstruere, hvad de involverede matematikere må have tænkt, men simpelthen at vise, at den behandlede matematik ved hjælp af en kæde af metaforer kan udledes fra nogle få grundlæggende metaforer. På den måde er det et deduktivt projekt i bedste matematiske tradition, og denne historieløse udledning virker da også i det lange løb som en noget anstrengt øvelse.

Det rører dog ikke ved bogens hovedbidrag, den forestilling at matematikken udspringer af vores mest elementære, kropslige oplevelser med ting og rummet omkring os, og at disse oplevelser ved hjælp af metaforer udvikles til at gælde på stadig nye og mere abstrakte domæner. Således udvikles matematikken.

Det er en besnærende tanke, som man gerne vil tro - selv om forfatterne kun har påvist, at matematikken kan forklares som værende dannet på denne måde, og ikke har påvist, f.eks. ved enkeltsagsstudier, at konkrete matematikeres tankeprocesser faktisk har forløbet sådan.

Forfatterne kan nu besvare det klassiske spørgsmål om, hvorfor matematikken virker så utroligt godt i den fysiske virkelighed - det er f.eks. tit sket, at en matematiker opfinder et eksotisk matematisk begrebsapparat, som 50 år senere finder anvendelse i fysikken. Det er ikke, fordi naturen er skrevet i matematikkens sprog, eller fordi matematikken er transcendent sand, en opfattelse som Lakoff og Núñez kritiserer voldsomt under etiketten 'the romance of mathematics'.

Matematikken passer så fint på verden, fordi den er udviklet i en intim sammenhæng mellem bevidsthed og verden, medieret af krop, bevægeapparat, sanser og hjerne. Vi erkender matematikken som sand, fordi vi selv har skabt den til at passe med den verden, vi er dybt indlejret i, med hud og hår. Matematikken er et menneskeligt projekt, og den skal formidles og undervises som sådan - ikke som åbenbarede sandheder.

Denne bog er trods sin til tider monomane insisteren et originalt bidrag til matematikkens filosofi. Den udvikler ingen ny matematik, og foregiver ikke at gøre det. Til gengæld lancerer den en forfriskende ny analyse af matematiske ideer, en analyse der i modsætning til den traditionelle skrivebordsfilosoferen om matematikkens kilder er baseret på empiriske resultater fra kognitionsforskeres studier af menneskets faktiske tænkning.

At småstenstælleri, tommelfingerudmåling og afskridtning skulle give en væsentlig indgang til matematikken synes ukontroversielt i dag, men det er ikke et perspektiv, der har fyldt meget i 2.500 års matematikfilosofi. Kroppen, sanserne, barnets fumleri med kugler og pinde - så lave og primitive materier har aldrig før så gennemgribende tilgriset den ophøjede matematik, der hviler i evighedens og den rene tankes domæne.

Få det store overblik for 1 kr.

Prøv den fulde adgang til Politiken.dk, apps, podcast og meget mere for kun 1 kr. De hurtigste er i gang på under 34 sekunder.

Læs mere

Annonce