Arne Holmstrup blev uddannet jurist fra Københavns Universitet i 1947, hvorefter han blev ansat i Justitsministeriet. I flere ombæringer virkede Arne Holmstrup som dommerfuldmægtig og konstitueret dommer. Han var desuden ansat hos Statsadvokaten for Sjælland og en periode ministersekretær i Justitsministeriet. I 1962 udnævntes Arne Holmstrup til dommer i Københavns Byret, og fra 1972 til pensioneringen i 1990 var han dommer i Østre Landsret. Landsdommeren røgtede blandt andet hverv i bestyrelsen for Den Danske Dommerforening, ligesom han gjorde en indsats i Tandlægenævnet og Landstandlægenævnet samt i Indenrigsministeriets Ankenævn i Disciplinærsager mod Værnepligtige i Civilforsvaret.