Anders Brandstrup er gårdejersøn fra Egå ved Aarhus. Han virkede fra 1941 ved landbruget i en årrække, men ophold på Vallekilde og Krogerup Højskoler gav inspiration til at søge videreuddannelse. Anders Brandstrup blev student fra Aarhus Akademis Aftenkursus i 1951 og blev syv år senere cand.polit. fra Københavns Universitet.

Under studietiden i Aarhus var Anders Brandstrup formand for Musiske Studenter, Aarhus 1952-53, og for Aarhusstudenternes Kursusvirksomhed. Han virkede desuden som redaktør af Den jyske Akademiker og var formand for Danske Studerendes Fællesråd 1955.

I 1958 blev Anders Brandstrup ansat i Udenrigsministeriet, hvor han kom til at virke i de følgende næsten 40 år. Første udepost var som attache i Moskva, siden virkede han ved de danske repræsentationer ved OECD og Nato i Paris, og efter en ombæring hjemme i ministeriet i København blev Anders Brandstrup ambassaderåd i Rabat i Marokko.

I 1979 blev han første gang ambassadør - i Nigeria med sideakkrediteringer i Liberia, Ghana og Cameroun. Fem år senere rykkede Anders Brandstrup videre som dansk diplomatis førstemand i Indonesien, og oven på endnu en årrække i København udsendtes han i 1991 som ambassadør i Kuwait, Qatar og Bahrain. Rækken af udeposter afsluttedes som ambassadør i Syrien, Libanon, Jordan og Cypern 1994-96.

I 1997 gik han på pension.